Valentina scrive: problema triangolo rettangolo

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Oggetto: problema triangolo rettangolo

Corpo del messaggio:
In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC è lunga 25\sqrt 3 e il cateto AB è 3/4 AC. Calcola la lunghezza della bisettrice BE dell’angolo B. Disegna l’altezza AH relativa all’ipotenusa e traccia la bisettrice AF dell’angolo CAH. Dimostra che le due bisettrici BE e AF sono perpendicolari e calcola la distanza del vertice A dalla bisettrice BE.
Grazie.

Risposta dello staff

triangolo rettangolo con bisettrici

Calcoliamo subito i cateti sapendo che:

AB=\frac 34 AC

e utilizzando Pitagora avremo:

AB^2+AC^2=BC^2

\frac {9}{16}AC^2+AC^2=1875

\frac {25}{16}AC^2=1875

AC^2=1875 \frac {16}{25}

AC=20\sqrt3

AB=15\sqrt3

Sapendo che BE è bisettrice, avremo che:

AB:BC=AE:EC

Ponendo EC=x avremo:

AE=\frac {AB \cdot EC}{BC}=\frac 35x

Ma sappiamo anche che:

EC+AE=AC

x+\frac 35 x=20\sqrt 3

\frac 85 x=20\sqrt 3

x= \frac {25}{2}\sqrt 3

CE= \frac {25}{2}\sqrt 3

AE= \frac {15}{2}\sqrt 3

Col teorema di Pitagora ricaviamo BE:

BE= \sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{675+\frac {675}{4}}=\sqrt{\frac {3375}{4}}=\frac {15\sqrt{15}}{2}

Consideriamo adesso i triangoli ACB e ABH. Ovviamente questi due triangoli saranno simili.

Da questo ricaviamo che:

\widehat{HAB}=\widehat{ACB}

\widehat{HAC}=\widehat{ABC}

Quindi le bisettrici formeranno angoli uguali, ovvero:

\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{HAF}=\widehat{FAC}

Da questa, chiamando O il punto di intersezione tra AF e BE, noteremo che, il triangolo AOE e BAE sono simili in quanto:

\widehat{ABE}=\widehat{OAE}

e hanno l’angolo \widehat{AEB} in comune e quindi il triangolo AOE è rettangolo.

Quindi, calcolare la distanza del vertice dalla bisettrice equivale a calcolare la lunghezza del segmento AO, che ricaviamo dalla similitudine:

AO:AB=AE:EB

AO = \frac {AE \cdot AB}{ EB} =\frac {\frac {15\sqrt 3}{2} \cdot 15\sqrt3}{\frac {15\sqrt{15}}{2}}=\frac {225 \cdot 3}{2} \cdot \frac {2}{15\sqrt{15}}=3\sqrt{15}

 

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