Francesco scrive: segno, limite, equazione

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Oggetto: segno, limite, equazione

Corpo del messaggio:
Salve, devo fare urgentemente questi 3 esercizi ma non ci capisco nulla, potreste darmi una mano?

ho caricato il file con gli esercizi

esercizi

 

1)

    \[\lim_{x \to 1} \frac {x^3+2x^2-3x}{x^2-1}=\frac {0}{0}\]

Essendo una forma indeterminata riscriviamolo in questo modo:

    \[\lim_{x \to 1} \frac {x(x^2+2x-3)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x \to 1} \frac {x(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\]

    \[=\lim_{x \to 1} \frac {x(x+3)}{x+1}=\frac 32\]

2)

y=\frac {1}{1+x^2}

Il punto di ascissa x=2 avrà ordinata:

y=\frac {1}{1+4}=\frac 15

Il coefficiente angolare nel punto 2 lo ricaviamo calcolando la derivata nel punto quindi:

y'=\frac {-2x}{(1+x^2)^2}

y'(2)=\frac {-4}{25}

Quindi, una generica retta avrà equazione:

y=mx+q

ricaviamo q sostituendo i valori trovati precedentemente, ovvero le coordinate del punto \left(2;\frac {1}{5}\right), ed il coefficiente angolare m=-\frac {4}{25}:

\frac 15=-\frac {4}{25} \cdot 2+q

q=\frac 15+\frac {8}{25}

q=\frac {5+8}{25}

q=\frac {13}{25}

La retta sarà quindi:

y=-\frac {1}{25}(4x-13)

3)

Per calcolare il segno della funzione, basterà studiare la positività della frazione:

y=\frac {x^2-5x+4}{x^2-3x}

y \geq 0

\frac {x^2-5x+4}{x^2-3x}\geq 0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

  • x^2-5x+4 \geq0

(x-4)(x-1) \geq0

x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 4

  • x^2-3x >0

x(x-3)>0

x <0 \quad \lor \quad x >3

Mettendo a sistema le soluzioni otteniamo:

f(x) >0 \iff x<0 \quad \lor \quad 1<x<3 \quad \lor \quad x>4

f(x) < 0 \iff 0<x<1 \quad \lor \quad 3<x<4

f(x) =0 \iff x=1 \quad \lor \quad x=4

 

 

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4 pensieri riguardo “Francesco scrive: segno, limite, equazione”

    1. Credo di aver scritto i passaggi in modo chiaro. Comunque, per i 2 casi ai quali hai fatto riferimento, per l’esercizio 1 ho semplicemente messo in evidenza la x al numeratore; per l’esercizio 2 ho sostituito il valore della x, l’ascissa, alla funzione data, per ottenere la y, ovvero l’ordinata.

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