Francesca scrive: Aiuto con studio di funzione a tratti

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Oggetto: Aiuto con studio di funzione a tratti

Corpo del messaggio:
Ciao! Mi aiutereste a risolvere questo studio di funzione definita a tratti? Sono bloccata in un punto e avrei bisogno di sciogliere alcuni dubbi.
La funzione in questione è f(t) { log(t+1) + 2   t>0  e t^2 + 3 t<= 0
Ho trovato un punto angoloso e due punti esclusi ma non sono sicura. Non sono riuscita a fare lo studio del segno delle due funzioni secondarie, ne le intersezioni con gli assi. Non sono sicura dei passaggi che ho già fatto.
Potrei mostrarmi i passaggi così posso capire come svolgere questa tipologia di esercizio? Grazie…

Risposta dello staff

Sia

f(t)=\begin{cases} log(t+1)+2 \qquad t>0 \\ t^2+3 \qquad t \leq 0 \end{cases}

il dominio è ovviamente tutto \mathbb{R}, poiche l’unica condizione sarebbe:

t+1>0 \iff t>-1 ma la funzione assume valori solo per valori di t positivi.

Studiamo la positività della funzione:

\begin{cases}log(t+1)+2 >0 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} t^2+3 >0 \\ t\leq 0 \end{cases}

\begin{cases}log(t+1) >-2 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \forall t \in \mathbb{R} \\ t\leq 0 \end{cases}

\begin{cases} t>e^{-2}-1 \\ t>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \forall t \in \mathbb{R} \\ t\leq 0 \end{cases}

Essendo verificate le condizioni, nel primo sistema t>0 e nel secondo t\leq0, la funzione è positiva per ogni t appartenente al dominio.

Essendo sempre strettamente positiva, f(t)=0 non si verificherà mai.

Invece per t=0, come da traccia, f(t)=3

Studiamo i limiti:

    \[\lim_{x \to \pm \infty} f(t)= +\infty\]

Studiamo la derivata prima:

f'(t)=\begin{cases} \frac{1}{t+1} \qquad t>0 \\ 2t \qquad t \leq 0 \end{cases}

Quindi la funzione è derivabile in ogni punto tranne per t=0

f'(0^+)=0

f'(0^-)=1

 

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