Fabio scrive: Esercizi di algebra

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Oggetto: Trigoniometria e numeri complessi

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Ciao, le foto degli esercizi che vi sto inviando sono esercizi che non mi riescono quindi vorrei capire con il vostro aiuto come svolgerli, aspetto una risposta in merito gli esercizi. Grazie

CAM01242

 

Risposta dello staff

 

z_1=\sqrt 2 \left(cos\frac{2}{3} \pi + i sen \frac{2}{3}\pi\right)

z_2=\frac{\sqrt 3}{2} cos\frac{5\pi}{4} + i sen \frac{5\pi}{4}

Sfruttiamo la formula:

z_1=r(cos\alpha+isen\alpha)

z_2=r(cos\beta+isen\beta)

z_1z_2=\frac rs \left[cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)\right]

avremo quindi:

z_1z_2=\frac{\sqrt 6}{2} \left[cos(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})+isen(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})\right]

da cui:

cos(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})=cos(\frac{2}{3} \pi)cos(\frac{5\pi}{4})-sen(\frac{2}{3} \pi)sen(\frac{5\pi}{4})=\frac{1}{2}\frac{\sqrt 2}{2}+\frac {\sqrt 3}{2} \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3)

sen(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})=sen(\frac{2}{3} \pi)cos(\frac{5\pi}{4})+cos(\frac{2}{3} \pi)sen(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}+\frac {1}{2} \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}(1-\sqrt 3)

Sostituendo alla espressione precedente avremo:

z_1z_2=\frac{\sqrt 6}{2} \left[\frac{\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3) +i\frac{\sqrt 2}{4}(1-\sqrt 3)

z_1z_2=\frac{\sqrt 3}{4}(1+\sqrt 3) +i\frac{\sqrt 3}{4}(1-\sqrt 3)

z_1z_2=\frac{\sqrt 3+3}{4} +i\frac{\sqrt 3-3}{4}

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