Esercizio 10 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 2

Traccia

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}$

Svolgimento

Essendo le radici già isolate, possiamo elevare subito al quadrato dopo aver verificato le condizioni di esistenza.

$\begin {cases} x+2 \geq 0 \\ x-2 \geq 0 \\ 2x+3 \geq 0 \\ 2x-3 \geq 0 \end{cases}$

$\begin {cases} x \geq -2 \\ x \geq 2 \\ x \geq -\frac 32 \\ x \geq \frac 32 \end{cases}$

Quindi, affinchè siano verificate entrambe deve succedere che:

$x \geq 2$ .

Eleviamo ora tutto al quadrato:

$x+2 +2 \sqrt{x^2-4}+x-2=2x+3 + 2 \sqrt{4x^2-9}+2x-3$

$2 \sqrt{x^2-4}= 2 \sqrt{4x^2-9}+2x$

$\sqrt{x^2-4}= \sqrt{4x^2-9}+x$

$\sqrt{x^2-4}- \sqrt{4x^2-9}=x$

Elevando nuovamente al quadrato otteniamo:

$x^2-4- 2 \sqrt{(x^2-4)(4x^2-9)}+4x^2-9=x^2$

$4x^2-13= 2 \sqrt{(x^2-4)(4x^2-9)}$

Rieleviamo di nuovo al quadrato.

$16x^4-104x^2+169= 4(4x^4-25x^2+36)$

$16x^4-104x^2+169= 16x^4-100x^2+144$

$4x^2= 25$

Da questa avremo due soluzioni:

$x=-\frac 52$ non accettabile, e

$x=\frac 52$ accettabile.

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