Esercizio 15 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un rettangolo la base supera di 4 cm i 2/3 dell’altezza e l’area è 48 cm $^2$ . Determinare le lunghezze dei lati, della diagonale e il rapporto tra i segmenti in cui viene divisa la diagonale dalla proiezione ortogonale di uno dei vertici sulla diagonale stessa.

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Sia AB l’altezza e AD la base.

Ponendo $AB=x$ , avremo:

$AD=\frac 23x+4$

Basterà questo per calcolare il valore dell’incognita:

$AB \cdot AD = A$

$x(\frac 23x+4)=48$

$\frac 23 x^2 +4x-48=0$

$2x^2+12x-144=0$

$x^2+6x-72=0$

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$x_{\frac 12}= \frac {-6 \pm \sqrt {36+288}}{2}=\frac {-6 \pm \sqrt {324}}{2}=\frac {-6 \pm 18}{2}=-3 \pm 9$

$x_1=-12 \mbox{ cm}$

$x_2=6 \mbox{ cm}$

Ovviamente la prima soluzione non sarà accettabile in quanto un lato non può avere misura negativa, e quindi avremo:

$AB= 6 \mbox{ cm}$

$AD=8 \mbox{ cm}$ .

Per calcolare la diagonale BD usiamo il teorema di Pitagora:

$BD= \sqrt {AB^2+BD^2}=\sqrt {36+64} \mbox { cm}=\sqrt {100} \mbox { cm}= 10 \mbox { cm}$ .

Adesso, per trovare il rapporto tra le due proiezioni, supponiamo di tracciare la perpendicolare alla diagonale BD dal vertice A, dimodochè, essendo ABD un triangolo rettangolo, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa.

Dal primo teorema di Euclide avremo che:

$BH=\frac {AB^2}{BD}$