Giorgio scrive: prodotto di quadrati

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Uno studente scrive:

Oggetto: prodotto di quadrati

Corpo del messaggio:
Sia d un intero positivo e siano x,y interi non negativi. Sia S l’insieme formato dai numeri x^2 + dy^2.
Come si dimostra che se a e b appartengono a S anche il loro prodotto appartiene a S?

 

Risposta dello staff

Per ipotesi esisteranno x_a, x_b, d_a, d_b, y_a, y_b interi non negativi tali che

a=x_a^2+d_ay_a^2

b=x_b^"+d_by_b^2

dal momento che a e b appartengono ad S.

Vogliamo dimostrare che il prodotto di a*b appartiene ancora ad S

a*b=(x_a^2+d_a*y_a^2)* (x_b^2+d_b*y_b^2) = x_a^2x_b^2 + x_a^2d_by_b^2 + d_ay_a^2x_b^2 + d_ay_a^2d_by_b^2

Per semplificare la notazione imponiamo

x_c^2 = x_a^2x_b^2

y_c^2=1

d_c=x_a^2d_by_b^2 + d_ay_a^2x_b^2 + d_ay_a^2d_by_b^2

Sostituendo otteniamo che

a*b=x_c^2 + d_cy_c^2

con x_c, d_c, y_c interi non negativi

da cui l’asserto

 

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