Luca scrive: Pitagora ed euclide

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Uno studente scrive:

Oggetto: Pitagora ed euclide

Corpo del messaggio:
Determinare il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’area è 600 cm^2 e che l’ipotenusa è uguale ai 25/9 della proiezione di un cateto su di essa. [risultato 2P=120]

 

 

Risposta dello staff

 

triangolorettangolo

 

Dai dati abbiamo che:

\frac {AB \cdot CH}{2}=600 \mbox{ cm}^2

AB=\frac {25}{9} BH

Da qui avremo che:

BH= \frac {9}{25}AB

Quindi possiamo anche calcolare che:

AH= AB-BH=AB-\frac {9}{25}AB= \frac {16}{25}AB

Per il secondo teorema di Euclide avremo che:

CH^2= AH \cdot HB

CH^2=\frac {9}{25} AB \cdot \frac {16}{25} AB

Mettendo tutto sotto radice quadrata otteniamo facilmente:

CH=\frac 35 \cdot \frac 45 AB=\frac {12}{25}AB.

Sfruttando ora la conoscenza dell’area troviamo l’ipotenusa:

\frac {\frac {12}{25} AB \cdot AB}{2}=600 \mbox { cm}^2

\frac {6}{25} AB \cdot AB=600 \mbox { cm}^2

AB^2=2500 \mbox { cm}^2

AB=50 \mbox { cm}

Da qui avremo:

BH=18 \mbox { cm}

AH= 32\mbox { cm}

CH= 24 \mbox { cm}

Troviamo i due cateti con il primo teorema di Euclide:

AC=\sqrt {AH \cdot AB}= \sqrt {32 \cdot 50} \mbox { cm}= 40 \mbox { cm}

BC=\sqrt {BH \cdot AB}= \sqrt {18 \cdot 50} \mbox { cm}= 30 \mbox { cm}

Quindi potremo calcolare il perimetro:

AB+BC+AC= (50+40+30) \mbox { cm}= 120 \mbox { cm}

 

 

 

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