Esercizio 30 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

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Traccia

x<2+\sqrt{4+3x-x^2}

\sqrt{4+3x-x^2} > x-2

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x-2 \geq 0 \\ 4+3x-x^2 > x^2-4x+4 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x-2 < 0 \\ 4+3x-x^2 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 2 \\ 2x^2-7x < 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 2 \\ x^2-3x-4 \leq 0 \end{cases}

Notiamo che le disequazione di secondo grado saranno verificate per

    \[0 < x < \frac 72\]

e

    \[ -1 \leq x \leq 4\]

Unendo

\begin{cases} x \geq 2 \\ 0< x < \frac 72 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 2 \\ -1 \leq x \leq 4 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[2 \leq x < \frac 72 \quad \mbox{ e }\quad -1 \leq x < 2\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per -1 \leq x < \frac 72

 

 

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