Quesito 5 P.N.I. 2013

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In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0,76%)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

 

Possiamo scrivere la formula della dilatazione lineare di un corpo sotto la formula:

    \[l=l_0(1+\Delta l)\]

dove \frac {\Delta l}{l_0}\cdot 100 è la dilatazione percentuale.

Se la dilatazione percentuale è molto piccola (quindi anche \Delta l è molto minore di l_0) nelle formule dell’area e del  volume possiamo trascurare le potenze di \Delta l superiori alla prima.

Quindi avremo:

l^2=l_0(1+\Delta l)l_0(1+\Delta l)=l_0^2(1+2\Delta l+ \Delta l^2).

Trascurando il termine quadratico e otteniamo:

l^2=l_0^2(1+2\Delta l).

Stesso discorso per il volume:

l^3=l_0^3+(1+\Delta l)^3=l_0^3(1+3\Delta l+ ...).

Quindi le due dilatazioni percentuali risultano:

  • per la superficie: \frac {2\Delta l}{l_0^2}\cdot 100
  • per il volume: \frac {3\Delta l}{l_0^3}\cdot 100

 

 

 

 

 

 

 

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