Quesito 10 P.N.I. 2013

Si stabilisca per quali valori $k\in R$ l’equazione $x^2 (3 - x) = k$ ammette due soluzioni distinte

appartenenti all’intervallo [0, 3]. Posto $k = 3$ , si approssimi con due cifre decimali la maggiore

tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

Consideriamo la cubica:

$f(x)=x^2(3-x) \quad \mbox { per } \quad x \in [0;3]$

Chiedere che l’equazione $x^2(3-x)=k$ abbia due soluzioni distinte equivale a cercare per quali $x$ la cubica $f(x)$ ha doppia intersezione con le rette orizzontali di livello k.

Dal disegno si osserva che k è compreso tra zero e il $\max_{0 \leq x \leq 3} f(x)$ .

Determiniamo questo massimo.

$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$

Studiamo il segno della derivata:

$-3x(x-2) \geq0$

$3x(x-2) \leq 0$

da cui, avendo 2 soluzioni, 0 e 2, otteniamo:

dove il punto di massimo è $x=2$ .

$f(2)=4(3-2)=4$

Quindi avremo che:

$0 \leq k <4$ .

4 sarà da escludere altrimenti avrei due soluzioni coincidenti.

Sfruttando il metodo del punto medio in [2,3], dove si trova la maggiore delle soluzioni, ponendo $g_k(x)=x^2(3-x)-k$ avremo:

$g_3(2)=4-3=1>0$

$g_3(3)=-3<0$ .

Per il teorema degli zeri, allora lo zero sarà un numero compreso tra 2 e 3.

Sia M il punto medio di [2;3], e quindi $M=\frac 52$ .

$g_{3}(\frac 52)=\frac 18>0$ .

Allora posso stimare lo zero di $g_3(x)$ con $M_2=\frac {11}{4}$ che è il punto medio di $\left[ \frac 52;3 \right ]$ .

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