Problema 1.1 P.N.I. 2013

Una funzione $f (x)$ è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in $[0, + \infty [$ e nella figura sono disegnati i grafici $\Gamma$ e $\Lambda$ di $f (x)$ e della sua derivata seconda $f ''(x)$ . La tangente a $\Gamma$ nel suo punto di flesso, di coordinate (2; 4) , passa per (0; 0), mentre le rette $y = 8$ e $y = 0$ sono asintoti orizzontali per $\Gamma$ e $\Lambda$ , rispettivamente.

Si dimostri che la funzione $f '(x)$ , ovvero la derivata prima di f (x) , ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni $x$ del dominio è: $f ''(x) \leq f '(x) \leq f (x)$ , qual è un possibile andamento di $f '(x)$ ?

Analizziamo per prima cosa come si comportano le funzioni nel punto F di coordinate $x=2$ .

Visto che F è un punto di flesso, ovvero $f''(2)=0$ , e che $f''(x)$ è la derivata di $f'(x)$ , possiamo affermare che in $x=2$ c’è un punto stazionario di $f'(x)$ .

Osservando il grafico, notiamo che $f''(x)$ ha segno positivo per $x<2$ , mentre per $x>2$ ha segno negativo: perciò, ricordando che $f''(x)$ è la derivata di $f'(x)$ , possiamo concludere che $f'(x)$ ha un andamento crescente per $x<2$ e un andamento decrescente per $x>2$ . Quindi, in $x=2$ abbiamo un punto di massimo.

Ora, dobbiamo trovare il valore della coordinata $y$ del punto di massimo.

Prima di calcolarlo dobbiamo ricordarci del significato geometrico della derivata, ovvero $f'(x)$ è la funzione che esprime i valori dei coefficienti angolari delle rette tangenti a $f(x)$ nei punti di ascissa $x$ . Quindi $f'(2)$ è il valore del coefficiente angolare della retta tangente a $f(x)$ nel punto di ascissa $x=2$ .

Non conoscendo l’equazione della retta tangente, ma sapendo che passa per i punti F e O, quindi possiamo calcolare il valore di m attraverso la formula

$m=\frac {y_F-y_O}{x_F-x_O}=\frac {4-0}{2-0}=2.$

Quindi possiamo concludere che $f'(2)=2$ e che quindi il punto di massimo di $f'(x)$ è $M(2;2)$ .

Quindi, dopo aver capito che:

$f'(x) ha un massimo in M(2;2)$ ;
$f'(x) è crescente in [0;2)$
$f'(x) è decrescente in (2;+\infty)$ ,

studiamo cosa succede a $f'(x)$ agli estremi del dominio.

Poichè per ipotesi vale la relazione $f''(x)\leq f'(x) \leq f(x)$ , per $x \rightarrow +\infty$ , $f'(x)$ è decrescente e $\lim_{x \to +\infty}f''(x)=0$ , possiamo affermare che:

$\lim_{x \to +\infty}f'(x)=0.$

Inoltre, sempre osservando il grafico di $f''(x)$ , notiamo che la curva ha un punto di minimo P, quindi la sua derivata prima $f'''(x_P)=0$ . Visto che $f'''(x)$ equivale alla funzione derivata seconda di $f'(x)$ , nel punto P, $f'(x)$ avrà flesso e quindi cambio di concavità. E dato che nell’intervallo $[0;x_P)$ la funzione $f''(x)$ è decrescente, allora $f'''(x)$ è negativa e quindi la $f'(x)$ avrà una concavità diretta verso il basso, mentre nell’intervallo $(x_P;+\infty)$ sarà esattamente il contrario e avrà la concavità diretta verso l’alto.

Per stabilire il valore di partenza, ovvero $f'(0)$ non abbiamo le informazioni necesarie, ma sappiamo per certo che $f''(0)\leq f'(0) \leq f(0)$ . Quindi il grafico sarà:

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