Problema 1.1 Scientifico 2012

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Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

    \[f(x)=|27x^3| \quad \quad \mbox { e } \quad \quad g(x)= sen \left( \frac 32 \pi x\right).\]

 

 

Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy.

 

Per determinrare il periodo della funzione g, dal momento che la funzione seno è periodica di periodo 2\pi, calcoliamo la distanza tra due punti x_1 e x_2 tali che:

    \[\frac 32 \pi x_1 - \frac 32 \pi x_2=2\pi.\]

Da cui si ricava x_1-x_2=\frac 43. Il periodo di g è quindi T=\frac 43.

Studiamo la funzione f:

la funzione è una funzione razionale intera, quindi definita \forall x \in R, quindi D=R.

La funzione f è pari, essendo il modulo di una funzione dispari, quindi, per comodità, studiamo solo la funzione per x \geq0.

La funzione presenta nell’origine l’unica intersezione con gli assi, e inoltre, f è ovviamente positiva \forall x \in D.

Studiamo il comportamento agli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to\pm \infty} f(x)= + \infty.\]

Essendo f il modulo di una cubica non presenta asintoti orizzontali ne asintoti obliqui.

Per x \geq 0, f'(x)=81x^2, e quindi è crescente nell’intervallo, ed essendo pari, sarà decrescente per x <0, e presenta un minimo in x=0.

La funzione g è semplicemente la funzione normale del seno dilatato rispetto all’asse x.

 

 

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