Problema 2.1 Scientifico 2012

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Nel primo quadrante del sistema di riferimentoOxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione x^2=9-6y i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

 

 

Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB.

 

Riscriviamo meglio le funzioni, sapendo che x \in [0;3]:

L: l(x)= -\frac 16 x^2-\frac 32

C: c(x)= + \sqrt {9-x^2}.

Troviamo la derivata di l(x): l'(x)=- \frac 13x.

Poichè r è tangente a L in A(3;0), il coefficiente angolare m di r è m=l'(3)=-1.

Sappiamo anche che la retta r passa per B(0;3), allora l’equazione sarà: r: r(x)=-x+3.

La regione R compresa tra C e L è divisa da r in A_1 e A_2 come in figura.

Troviamo le due aree:

    \[A_1=A_{AOB}-\int_0^3 l(x)dx=\frac 92 - \int_0^3 \left( -\frac 16 x^2+ \frac 32 \right) dx= \frac 92 - \left[ -\frac {1}{18}x^3+ \frac 32 x \right]_0^3=\frac 32\]

.

    \[A_2= \frac {\mbox {Area del cerchio}}{4}-A_{AOB}=\frac {9\pi}{4}-\frac 92\]

.

 

 

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