Problema 2.4 Scientifico 2012

Nel primo quadrante del sistema di riferimento $Oxy$ sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3) e l’arco L della parabola d’equazione $x^2=9-6y$ i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).

Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all’arco AB e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.

Sia $P(x_P;y_P)$ il centro di $\gamma$ , circonferenza tangente a C in T e all’asse x in H.

Allora i raggi OT e PT, rispettivamente di C e di $\gamma$ , sono entrambi perpendicolari a $t$ , e quindi O,P e T risultano allineati.

Quindi:

$PT=OT-OP=3-\sqrt {x_P^2+y_P^2}.$

Inoltre $PH=y_P$ , e poichè $PT=PH$ , si ha:

$y_P=3-\sqrt {x_P^2+y_P^2}.$

da cui: $x_P^2+6y_P-9=0$ , che è proprio l’equazione di L.

Ora, detta $C'$ la circonferenza di centro A e raggio 3, si ha $C'$ simmetrica di $C$ rispetto ad $a:x=\frac 32$ .

Chiamiamo $Q$ la circonferenza tangente a $C$ , $C'$ e all’asse $x$ .

Detto $L'$ il luogo dei centri delle circonferenze tangenti internamente a $C'$ e all’asse $x$ , si ha $L'$ simmetrico di $L$ rispetto ad $a$ . Allora necessariamente $Z$ , centro di $Q$ , appartiene sia a $L$ che a $L'$ e cade quindi sull’asse $a$ .