Quesito 4 P.N.I. 2012

L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

N e Q sono equipotenti. Infatti di sicuro sappiamo che $#N\leq #Q$ , ma d’altra parte, consideriamo la tabella così costruita:

Tabella

0 1 2 3 4

1 1 1/2 1/3 1/4 …

2 2 2/2 …

3 3 3/2 …

4 4 4/2 …

Con il metodo diagonale otteniamo una applicazione suriettiva ma non iniettiva da N in Q. Quindi avremo che:

$#N \geq #Q$ , e quindi l’uguaglianza.

Poichè è noto che i numeri primi sono infiniti, e l’insieme dei numeri primi è contenuto in N, necessariamente

$#N=#P$ ,

dove $P=\{ p \in N : p \mbox { primo}\}$ ,

in quanto non esiste cardinalità infinita minore di quella del numerabile.

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