Quesito 1 Scientifico 2011

Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

Dai dati avremo che:

Sia $OH =x =\frac h2$ , con $0 \leq x \leq 2R$ .

Per il Teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo AOH, avremo:

$AH=\sqrt {r^2-x^2}=\sqrt {36-x^2}=r$

da cui ricaviamo:

$V_{cilindro}=\pi (36-x^2)\cdot 2x=72\pi x - 2 \pi x^3$ .

Calcoliamo la derivata prima così da trovare il volume massimo:

$V'=72\pi-6 \pi x^2$ .

$V'>0 \iff 72\pi-6 \pi x^2>0 \iff x^2 < \frac {72}{6}=12 \iff -2\sqrt3 <x<2\sqrt 3$ .

Dato che $x$ deve essere compreso tra 0 e 12, allora $x=2\sqrt3$ è accettabile.

Quindi, il volume sarà:

$V=\pi \cdot 24 \cdot 4 \sqrt 3 = 96\pi \sqrt 3 \mbox{ dm}^3\simeq 522,37 l$

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