Sia 
la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da 
e sia 
la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento 
.
Si determini il limite di 
per x che tende a 
e a 
. Si calcoli 
e si spieghi perchè dal risultato si può dedurre che il punto 
è centro di simmetria di .
Si nota subito che
![\[\lim_{ x \to \pm \infty} f(x)= \pm \infty,\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2970d9439c74724cf4815b7c4f92ceb3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
in quanto
![\[\lim_{ x \to - \infty} \frac {2}{e^x+1}= 2\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83b8e050fdf97e3a83460e2a08bb5832_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
![\[\lim_{ x \to + \infty} \frac {2}{e^x+1}= 0.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7202ef81d608244da703627ef727a42e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Notiamo anche che:
![\[f(x)+f(-x)=x+ln 4 + \frac {2}{e^x+1} - x + ln 4 + \frac {2}{e^{-x}+1}=2ln 4 +2 \left( \frac {1}{e^x+1} + \frac {1}{e^{-x}+1} \right)=\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e87c7a24e39a9e83de0a75cbd2b5d17_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[= 2ln 4 + 2 \left ( \frac {1}{e^x+1} + \frac {e^x}{e^x+1}\right)=2ln4+2=2(ln4+1).\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6d0605729a5c2265386e2c8095e517e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi, in base a questo risultato, il punto medio del segmento che unisce 
e 
è il punto 
, e sarà i centro di simmetria della curva.
Altri esercizi svolti
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