Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima?
Sia 
l’altezza del cono e 
il raggio della sfera, il raggio di base del cono è:
![\[\sqrt {r^-(x-r)^2}=\sqrt {2rx-x^2}.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14123939595782fc15598e048d9cea72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’apotema del cono, che può essere visto come un cateto del triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il diametro della sfera passante per il vertice del cono, è dato, per il primo teorema di Euclide, da 
Ora, la superficie laterale del cono sarà:
![\[A=\pi \sqrt {2rx-x^2} \sqrt {2rx}=\pi\sqrt{2r(2rx^2-x^3)}.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a437ba0fb1fd8806b8f9bf350b10ad47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Studiamo quindi il radicando per 
.
Sia
![\[f(x)=2rx^2-x^3\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e26daf987a3f62397e35738b24709fad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
,
la sua derivata prima sarà:
![\[f'(x)=4rx-3x^2\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e731a3e487c2cd046b2a6bf3371dc68_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che si annulla per
![\[x=0 \quad \lor \quad x=\frac 43 r.\]](http://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2189a569bacfdfb8c9be90846e39d634_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E’ facile capire quale sarà il massimo e il minimo (dato che sostituendo 0 il prodotto si annulla), e quindi il massimo si otterrà con 
.
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