Problema 2.1 Scientifico 2010

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PROBLEMA 2
Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da f(x) = b^x (b > 0, b \neq 1).

 

Sia G_b il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G_b al variare di b.

 

Se b fosse negativo, la funzione perderebbe di significato.

Se b fosse uguale a 0 o a 1 sarebbe una costante.

Andiamo a studiare i due casi rimasti:

  • 0<b<1

In questo caso la funzione risulta essere sempre positiva, decrescente, che interseca l’asse delle ascisse in (0,1) e che ammette come limiti negli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty\]

e

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x)= 0.\]

La retta y=0 risulta anche essere asintoto orizzontale.

  • b>1

In questo caso la funzione risulta essere sempre positiva, crescente, che interseca l’asse delle ascisse in (0,1) e che ammette come limiti negli estremi del dominio:

    \[\lim_{x \to -\infty} f(x)= 0\]

e

    \[\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty.\]

La retta y=0 risulta anche essere asintoto orizzontale.

 

 

 

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