Problema 2.2 Scientifico 2010

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PROBLEMA 2
Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da f(x) = b^x (b > 0, b \neq 1).

 

Sia P un punto di G_b . La tangente a G_b in P e la parallela per P all’asse y intersecano l’asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a 1?

 

Dato che P è un punto del grafico allora avrà coordinate: P(k;b^k).

Quindi, una generica retta tangente avrà come coefficiente angolare la derivata della funzione calcolata nel punto, e, nello specifico, la tangente in P avrà equazione:

    \[y-b^k=f'(k)(x-k).\]

Calcoliamo la derivata prima:

f'(x)=b^x ln b, da cui

f'(k)=b^k ln b.

Sappiamo quindi che la retta tangente in P sarà:

    \[y=b^k ln b(x-k)+b^k.\]

Troviamo le coordinate di A: ponendo y=0, otteniamo

    \[b^k ln b(x-k)+b^k=0 \Rightarrow ln b(x-k)+1=0 \Rightarrow x=k-\frac {1}{ln b}.\]

A\left(k-\frac {1}{ln b};0\right).

Troviamo le coordinate di B, sapendo che, l’equazione per P parallela all’asse y è x=k, e quindi:

B(k;0).

Imponiamo ora la condizione richiesta, ovvero AB=1:

    \[\left | x_B-x_A \right|=\left | k-k+\frac {1}{ln b} \right|=\frac {1}{\left| ln b \right|}=\left | log_b e\right|=1\]

da cui:

    \[ln b = \pm 1 \Rightarrow b=e \quad \wedge \quad b=\frac 1e.\]

Si nota quindi che, a prescindere dal valore di b, AB rimarrà avrà sempre lunghezza costante.

 

 

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