Problema 2.3 Scientifico 2010

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PROBLEMA 2
Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da f(x) = b^x (b > 0, b \neq 1).

 

Sia r la retta passante per O tangente a G_e (e = numero di Nepero). Quale è la misura in radianti dell’angolo che la retta r forma con il semiasse positivo delle ascisse?

 

Chiamando Q il punto di tangenza, notiamo subito che avrà coordinate Q(t;e^t) e sia r la retta passante per l’origine di equazione generica y=ax.

La condizione di tangenza implica che il coefficiente angolare della retta, ovvero a, deve essere uguale alla derivata calcolata nel punto Q, ed, inoltre, Q \in r.

Avremo:

\begin{cases} a=e^t \\ e^t=at \end{cases}

\begin{cases} a=e^t \\ e^t=e^tt \end{cases}

\begin{cases} a=e \\ t=1 \end{cases}

Quindi la retta y=ex risulta essere tangente alla funzione y=e^x nel punto P(1;e).

Avremo dunque:

\alpha=arctg(e) \approx 1,218 \mbox { rad }.

 

 

 

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