Nicolo scrive: Esercizi sistema di disequazione

Oggetto:

Corpo del messaggio:

$\begin{cases} \frac{x^2-3}{x^2+2x} + \frac{3x+8}{4-x^2} > \frac{1+x^2}{x^2-2x}\\ \frac{\left|2x^2+5x+2\right| -2 }{\sqrt x}>0 \end{cases}$

Risposta dello staff

Notiamo subito che nella seconda disequazione, il denominatore sarà sempre positivo, se la x risulta essere strettamente positiva, quindi possiamo tranquillamente inserirlo come condizione base del sistema, così da avere:

$\begin{cases} \frac{x^2-3}{x(x+2)} - \frac{3x+8}{(x-2)(x+2)} - \frac{1+x^2}{x(x-2)}>0\\ \left|2x^2+5x+2\right| -2>0 \\ x>0 \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0 \\ \left|2x^2+5x+2\right| >2 \\ x>0\end{cases}$

Studiamo separatamente i casi:

$\frac{(x^2-3)(x-2)-x(3x+8)-(1+x^2)(x+2)}{x(x+2)(x-2)} >0$

$\frac{x^3-2x^2-3x+6-3x^2-8x-x-2-x^3-2x^2}{x(x+2)(x-2)} >0$

$\frac{-7x^2-12x+4}{x(x+2)(x-2)} >0$

$\frac{7x^2+12x-4}{x(x+2)(x-2)} <0$

$N>0$

$7x^2+12x-4>0 \iff x<-2 \quad \lor \quad x> \frac {2}{7}$

$D_1>0$

$x>0$

$D_2>0$

$x>-2$

$D_3>0$

$x>2$

	-2		0		$\frac27$		2
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