Quesito 4 PNI 2010

Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione $f(x)=\sqrt[3] x +x^3-1$ . Come si può essere certi che esiste un unico zero?

Per definizione $f(x)$ è definita in tutto R, e nel suo dominio la funzione è sempre continua. In particolare, anche nell’intervallo tra 0 e 1, dove agli estremi assume i seguenti valor:

$f(0)=-1$

$f(1)=-1.$

Per il teorema degli zeri di sicuro ci sarà un punto in questo intervallo dove la funzione si annulla.

Calcoliamo la derivata prima, e, affinchè ci sia un unico zero, questa deve essere positiva, cosicchè la funzione risulti monotona crescente.

$f'(x)=\frac {1}{3\sqrt[3]{x^2}}+3x^2$

che è sempre maggiore di 0 in tutto il dominio, 0 escluso.

Di sicuro quindi, l’unico zero risulterà essere quello nell’intervallo $[0;1]$ .

eterminiamolo con il metodo di Newton con partenza $x=0,5$ .

$x_{n+1}=x_n-\frac {f(x_n)}{f'(x_n)} \rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac {\sqrt[3] {x_n}+x_n^3-1}{\left(\frac {1}{3\sqrt[3]{x_n^2}}+3x_n^2 \right)}=g(x_n)$

$x_1=g(0,5) \simeq 0,560100$

$x_2=g(0,560100) \simeq 0,560088$

La soluzione cercata con una precisione di due cifre decimali è quindi:

$\alpha=0,56$

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