Quesito 8 PNI 2010

Se $n > 3$ e $\binom{n}{n-1}, \, \binom{n}{n-2}, \, \binom{n}{n-3}$ sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

Affinchè siano in progressione aritmetica, la differenza tra due termini consecutivi deve essere costante; si deve avere, quindi:

$\binom{n}{n-3}-\binom{n}{n-2}=\binom{n}{n-2}-\binom{n}{n-1} \quad \quad \mbox { con } n \geq 3.$

Sviluppiamo i coefficienti binomiali:

$\binom{n}{n-3}=\frac {n!}{(n-3)!3!}=\frac {n(n-1)(n-2)}{6}$

$\binom{n}{n-2}=\frac {n!}{(n-2)!2!}=\frac {n(n-1)}{2}$

$\binom{n}{n-1}=\frac {n!}{(n-1)!1!}=n$ .

Si ha:

$\frac {n(n-1)(n-2)}{6}-\frac {n(n-1)}{2}=\frac {n(n-1)}{2}-n$

Dividendo per n (sapendo per certo che sia diverso da 0), e facendo il mcm otteniamo:

$n^2-2n-n+2-3(n-1)=3(n-1)-6$

$n^2-9n+14=0$

$(n-7)(n-2)=0$

Quindi avremo due soluzioni:

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