Leandro scrive: Esercizi sulla retta

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Oggetto: Esercizi sulla retta

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Risposta dello staff

 

1) La retta che passa per il punto P avrà generica equazione:

y=mx-m

Intersecherà la retta y=x nel punto C\left(\frac{m}{m-1};\frac{m}{m-1}\right).

Essendo nel primo quadrante, avremo proprio che la base sarà data dall’origine e dal punto P, e l’altezza non sarà nient’altro che l’ordinata del punto C.

Quindi calcoliamo l’area:

A=\frac {1 \cdot \frac{m}{m-1}}{2}=2

\frac{m}{m-1}=4

m=4m-4

3m=4

m=\frac 43

La retta sarà quindi:

y=\frac 43x-\frac 43.

 

2) Dobbiamo ricordare innanzitutto che l’asse di un segmento è perpendicolare ad esso nel punto medio. Sapendo che il punto B avrà coordinate (x_B;0), il loro punto medio sarà:

M\left(\frac {1+x_B}{2};-1\right)

La retta che passa per A e B è:

\frac{y+2}{0+2}=\frac {x-1}{x_B-1}

y=2\frac {x-1}{x_B-1}-2

y=\frac {2x}{x_B-1}-\frac {2x_B}{x_B-1}

Il coefficiente angolare dell’asse sarà:

m_a=-\frac 12 (x_B-1)

Calcoliamo quindi la retta che passa per M:

y=-\frac 12 (x_B-1)x+q

-1=-\frac 12 (x_B-1)\frac {1+x_B}{2}+q

-1=-\frac 14 (x^2_B-1)+q

q=\frac 14 x^2_B-\frac 54

Ma q non rappresenta nient’altro che l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle y, quindi:

\frac 14 x^2_B-\frac 54=11

x^2_B-5=44

x^2_B=49

x_B=\pm 7

 

3)

Essendo un fascio di rette improprio quello che varierà sarà solo l’intercetta all’origine. L’equazione sarà quindi:

4x-3y+q=0

o anche:

y=\frac 43x+\frac q3

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2 pensieri riguardo “Leandro scrive: Esercizi sulla retta”

  1. In merito all’esercizio n.1, vorrei sapere perchè nel calcolo dell’area non si è scritto modulo di m diviso m-1 uguale a 4. Svolgendo i calcoli con il modulo mi viene oltre al valore m uguale a 4/3 trovato da voi anche il valore m uguale a 4/5. Perchè si esclude il valore 4/5 ?

    Riguardo l’esercizio n.3, la seconda retta scritta in forma esplicita non doveva essere y = 4/3 x + q ?

    Grazie

  2. Per l’esercizio 1 non devi considerare il modulo poichè viene imposto che il triangolo faccia parte del primo quadrante. Se fosse accettabile m=4/5, il punto C giacerebbe nel terzo quadrante, cosa non richiesta dalla traccia.

    Nell’esercizio 3, essendo q una costante, può assumere qualsiasi valore, visto che comunque si vengono a creare rette parallele. Ho diviso per 3 il termine noto per far notare il passaggio che viene fatto per modificare l’equazione da implicita ad esplicita.

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