Filippo scrive: Soluzione disequazione parametrica

Oggetto: Soluzione disequazione parametrica

Corpo del messaggio:

Andiamo a studiare separatamente numeratore e denominatore.

$-x^2+(a-4)x-1 \geq 0$

$x^2+(4-a)x+1 \leq 0$

Andiamo a risolvere l’equazione associata:

$\Delta= (4-a)^2-4=16-8a+a^2-4=a^2-8a+12=(a-6)(a-2)$

Quindi avremo che per

$2<a<6$ , il $\Delta$ sarà negativo e quindi l’equazione non ammette soluzioni.

$a=2 \quad \lor \quad a=6$ , il $\Delta$ è uguale a 0, e l’equazione ammetterà due soluzioni coincidenti.

$a <2 \quad \lor \quad a>6$ il $\Delta$ sarà positivo e l’equazione ammetterà due soluzioni distinte reali.

Ora, analizziamo le tre casistiche e risolviamo la disequazione principale:

Se il $\Delta$ è negativo, allora, la disequazione del numeratore non è mai verificata, e quindi la disequazione principale sarà verificata per $x<-1$
Se il $\Delta=0$ , la disequazione al numeratore non sarà mai verificata eccetto per un valore.
Per $a=2$ , il numeratore sarà $-x^2-2x-1=-(x+1)^2$ , e quindi la disequazione sarà verificata per $x\leq -1$
Per $a=6$ il numeratore sarà $-x^2+2x-1=-(x-1)^2$ , e quindi la disequazione sarà verificata per $x< -1 \quad \lor \quad x=1$
Se il $\Delta>0$ , bisognerà studiare il segno delle soluzioni: $\frac{a-4 \pm \sqrt{(a-2)(a-6}}{2}$ e la loro posizione rispetto a -1.

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