Leandro scrive: Dominio e codominio di funzioni

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Oggetto: Dominio e codominio di funzioni

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Risposta dello staff

1)

y=\sqrt{2-x}

Il dominio sarà dato da tutte le x che rendono positivo il radicando, essendo questo di indice pari:

2-x \geq 0 \iff x \leq 2, da cui:

D: x \leq 2

Il codominio assumerà tutti e solo i  valori positivi, poichè è una funzione razionale di indice pari, decrescente fino a 0.

2) y=3tg(x+1)

Essendo una tangente il codominio è tutto R. Per il dominio invece dobbiamo escludere tutti i valori tali per cui l’angolo della tangente è \frac 12 \pi+k \pi. Quindi il dominio sarà tutto R escluso i seguenti valori:

x+1 \neq \frac 12 \pi+k \pi

x \neq (\frac 12 \pi-1) +k\pi

3)y=x^2-2x

Essendo una funzione razionale intera il dominio sarà tutto R. Il codominio lo calcoliamo notando che questa è una parabola con la concavità verso l’alto, e quindi il minimo valore che assumerà sarà il suo vertice, ovvero, V(1,-1). Quindi il codominio sarà:

y \geq -1

4)

y=\frac {2-x}{x}

Essendo una funzione razionale fratta, il dominio è dato da tutto R escluso i valori che annullano il denominatore, ovvero x \neq 0.

Per calcolare il codominio, studiamo x in funzione di y:

y=\frac {2-x}{x}

xy=2-x

xy+x=2

x(y+1)=2

x=\frac{2}{y+1}

Quindi la y assumerà tutti i valori eccetto y=-1.

N.B. Si può studiare anche calcolando i limiti, ma non so a che punto sei nel programma.

5)

y=1-sen(\frac 1x)

Dato che la funzione seno è sempre verificata per ogni x, il calcolo del dominio si limita solo alla frazione dell’argomento del seno.

Come nel caso precedente quindi il dominio sarà tutto R escluso lo 0.

Il codominio, essendo il seno una funzione compresa tra -1 e 1, ed essendo questa sommata a 1, fa si che:

1-1 \leq 1-sen(\frac 1x) \leq 1+1

0 \leq 1-sen(\frac 1x) \leq 2

nel risultato da te scritto c’è un errore poichè, per x=\frac {1}{\pi}, la funzione sen(\frac 1x)=sen(\pi)=0, e quindi y=1, ovvero la funzione può assumere quel valore.

6)

y=\sqrt{1-4x^2}

Il dominio è dato dai valori tali per cui il radicando è positivo, ovvero:

1-4x^2 \geq 0

4x^2-1 \leq 0

x^2 \leq \frac 14

-\frac 12 \leq x \leq \frac 12

Il codominio sarà dato dai soli valori positivi, ma sarà limitato, ovvero:

y^2=1-4x^2

4x^2=1-y^2

x=\frac 12 \sqrt{1-y^2}

e quindi la y potrà solo assumere valori positivi e minori di 1.

Il codominio sarà quindi:

0\leq y \leq 1

7)

y=e^{\frac 1x}-1

Dato che la funzione esponenziale è sempre verificata per ogni x, il calcolo del dominio si limita solo alla frazione dell’esponente.

Come nel caso precedente quindi il dominio sarà tutto R escluso lo 0.

Per il calcolo del codominio, la funzione esponenziale assume solo valori strettamente maggiori di 0, e quindi:

e^{\frac 1x}>0

e^{\frac 1x}-1>-1

y>-1

Notiamo anche che:

y=e^{\frac 1x}-1

e^{\frac 1x}=y+1

\frac 1x=log(y+1)

x=\frac{1}{log(y+1)}

E quindi dobbiamo anche escludere la possibilità per la quale si annulla il denominatore, ovvero y=0.

8)

y=log(2-x).

Per il calcolo del dominio basterà imporre la positività stretta dell’argomento, ovvero:

2-x >0

x<2

Per il codominio, sappiamo che il logaritmo assume tutti i valori di R, e quindi, non essendoci limitazioni sull’argomento, il codominio sarà proprio tutto R.

y=log(2-x)

2-x=e^y

x=2-e^y

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