Marcella scrive: campo di esistenza

Oggetto: campo di esistenza

Corpo del messaggio:
Non riesco a capire qual è il campo di esistenza di questa funzione

y= radice [(x^3-x^2-1/x-1) + 1/x(x-1)]

$y=\sqrt{\frac{x^3-x^2-1}{x-1} + \frac{1}{x(x-1)}}$

Per studiare il campo di esistenza bisogna studiare la positività del radicando:

$\frac{x^3-x^2-1}{x-1} + \frac{1}{x(x-1)} \geq 0$

$\frac{x^4-x^3-x+1}{x(x-1)} \geq 0$

$\frac{x^3(x-1)-(x-1)}{x(x-1)} \geq 0$

$\frac{(x^3-1)(x-1)}{x(x-1)} \geq 0$

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x-1)}{x(x-1)} \geq 0$

Imponendo che $x \neq 1$ otteniamo:

$\frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x} \geq 0$

e quindi, sapendo che il primo fattore del numeratore è necessariamente positivo, otteniamo:

$x-1 > 0 \iff x >1$

$x>0$

e quindi, il campo di esistenza sarà:

$x<0 \quad \lor \quad x>1$

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