Teorema della media integrale

Se $y=f(x)$ è una funzione continua in un intervallo $[a;b]$ , allora $\exists$ $c\in [a;b]$ tale che

$\int_a^b f(x) \mathrm {d}x = f(c) (b-a)$ ,

ove $f(c)$ è denominato valor medio della funzione $y=f(x)$ nell’intervallo $[a;b]$ .

Interpretazione geometrica del teorema

Se la funzione $y=f(x)$ risulta $f(x)\geq 0 \forall x \in [a;b]$ , il teorema della media integrale garantisce l’esistenza di almeno un punto $c$ , appartenente all’intervallo $[a;b]$ , tale che il rettangolo avente come base l’ampiezza $b-a$ dell’intervallo e come altezza il valore $f(c)$ assunto dalla funzione in $c$ , è equivalente al trapezoide la cui area è espressa dall’integrale:

$\int_a^b f(x) \mathrm {d}x$ .

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