Esercizio 2 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$sen 8x - sen 4x = 2 cos 6x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

$sen(\alpha)-sen(\beta)=2cos(\frac {\alpha+\beta}{2})sen(\frac {\alpha-\beta}{2})$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$2cos\frac {8x+4x}{2}sen\frac {8x-4x}{2}=2cos6x$

$2cos\frac {12x}{2}sen\frac {4x}{2}-2cos6x=0$

$2cos 6x sen(2x)-2cos6x=0$

Dividendo tutto per $2$ avremo:

$cos6xsen2x-cos6x=0$

$cos6x(sen2x-1)=0$

da cui avremo due casi:

$6x= \frac 12 \pi +2k \pi \Rightarrow x=\frac 1{12} \pi + \frac 13 k \pi$

$6x= \frac 32 \pi +2k \pi \Rightarrow x=\frac 14 \pi + \frac 13 k \pi$

$2x=\frac 12 \pi 2k \pi \Rightarrow x=\frac 1{4} \pi + k \pi$ .

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