Esercizio 6 Disequazioni del tipo |f(x)| >< k, con k>0

Traccia

$\left | \frac 1x - \frac 23 \right | \leq 1$

Svolgimento

$\left | \frac {3-2x}{3x} \right | \leq 1$

Distingueremo due casi separati e poi uniremo il tutto:

$\begin {cases} \frac {3-2x}{3x} \geq -1 \\ \frac {3-2x}{3x} \leq 1 \end{cases}$

$\begin {cases} \frac {3-2x}{3x}+1 \geq 0 \\ \frac {3-2x}{3x}-1 \leq 0 \end{cases}$

$\begin {cases} \frac {3-2x+3x}{3x} \geq 0 \\ \frac {3-2x-3x}{3x} \leq 0 \end{cases}$

$\begin {cases} \frac {x+3}{3x} \geq 0 \\ \frac {3-5x}{3x} \leq 0 \end{cases}$

Da queste, senza eseguire troppi calcoli osserveremo che le soluzioni sono:

$\begin {cases} x \leq -3 \quad \lor \quad x > 0 \\ x < 0 \quad \lor \quad x \geq \frac 35 \end{cases}$

Inserendo tutto in un grafico otterremo la soluzione:

Dalla tabella si evince che il risultato sarà:

$x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq \frac 35$

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