Esercizio 11 Disequazioni letterali

Traccia

$a^2x^2-2a^2x+a^2-1>0, \qquad a>0$ a-1 su a e a+1 su a

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il $\Delta$ , che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

$a=a^2$

$b=-2a^2$

$c=a^2-1$

$\Delta= b^2-4ac=4a^4-4a^2(a^2-1)=4a^4-4a^4+4a^2=4a^2$

Ora, analizzando la tabella al seguente link:

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$a^2x^2-2a^2x+a^2-1=0$

$x_{\frac 12}=\frac {2a^2\pm 2a}{2a^2}$

$x_1=\frac {2a^2-2a}{2a^2}=\frac {2a(a-1)}{2a^2}=\frac {a-1}{a}$

$x_1=\frac {2a^2+2a}{2a^2}=\frac {2a(a+1)}{2a^2}=\frac {a+1}{a}$

Quindi, avremo che la disequazione

$a^2x^2-2a^2x+a^2-1>0$

è verificata per $x < \frac {a-1}{a} \quad \lor \quad x> \frac {a-1}{a}$ .
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