Esercizio 16 Disequazioni letterali

Traccia

$(a-1)x^2-2ax>0$

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il $\Delta$ , che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

$a=a-1$

$b=-2a$

$c=0$

$\Delta= b^2-4ac=4a^2$

Ci troveremo di fronte a più casi:

$a >1 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 >0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$(a-1)x^2-2ax=0$

$x[(a-1)x-2a]=0$

$x_1=0$

$x_2=\frac {2a}{a-1}$

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

$x<0 \quad \lor \quad x>\frac {2a}{a-1}$

$a=1$

La disequazione diventa di primo grado:

$-2ax>0$

$2ax<0$

$x<0$

$0<a<1 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 <0$

Cambiando segno al coefficiente e verso della disuguaglianza otteniamo:

$(1-a)x^2+2ax<0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$(1-a)x^2+2ax=0$

$x[(1-a)x+2a]=0$

$x_1=\frac {2a}{a-1}$

$x_2=0$

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

$\frac {2a}{a-1}<x<0$ .

$a=0$

La disequazione diventerebbe

$(a-1)x^2>0$

$(1-a)x^2<0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che, senza bisogno di calcolare le soluzioni, avremo che la disequazione è impossibile.

$a<0 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 <0$

Cambiando segno al coefficiente e verso della disuguaglianza otteniamo:

$(1-a)x^2+2ax<0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$(1-a)x^2+2ax=0$

$x[(1-a)x+2a]=0$

$x_1=0$

$x_2=\frac {2a}{a-1}$

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

$0<x<\frac {2a}{a-1}$ .
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