Esercizio 19 Disequazioni irrazionali contenenti radicali cubici

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Traccia

\sqrt[3]{\frac{x^4-2x^3}{x+1}}+1<x

Svolgimento

\sqrt[3]{\frac{x^4-2x^3}{x+1}}<x-1

Essendo una disequazione dove l’indice della radice è dispari, basterà semplicemente elevare ambo i membri alla stessa potenza e risolvere la disequazione.

(\sqrt[3]{\frac{x^4-2x^3}{x+1}})^3<(x-1)^3

\frac {x^4-2x^3}{x+1} < x^3-3x^2+3x-1

\frac {x^4-2x^3}{x+1} - x^3+3x^2-3x+1<0

\frac {x^4-2x^3-x^4-x^3+3x^3+3x^2-3x^2-3x+x+1}{x+1}<0

\frac {-2x+1}{x+1}<0

\frac {2x-1}{x+1}>0

Analizziamo separatamente numeratore e denominatore:

  • 2x-1 >0 \Rightarrow x > \frac 12
  • x+1 >0 \Rightarrow x>-1

Senza bisogno di fare il grafico, considerandola alla stregua di una disequazione di secondo grado, possiamo dire che il risultato di questa disequazione sarà:

x<-1 \quad \lor \quad x > \frac 12

 

 

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