Esercizio 4 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

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Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | \frac {4-x^2}{x^2+6x+9}\right |>3

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • \frac {4-x^2}{x^2+6x+9} \geq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2 \mbox { con } x \neq -3

 

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {4-x^2}{x^2+6x+9}>3 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {4-x^2}{x^2+6x+9}<-3 \end{cases}

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {4-x^2}{x^2+6x+9}-3>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {4-x^2}{x^2+6x+9}+3<0 \end{cases}

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {4-x^2-3x^2-18x-27}{x^2+6x+9}>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {4-x^2+3x^2+18x+27}{x^2+6x+9}<0 \end{cases}

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {-4x^2-18x-23}{x^2+6x+9}>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {2x^2+18x+31}{x^2+6x+9}<0 \end{cases}

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {4x^2+18x+23}{x^2+6x+9}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {2x^2+18x+31}{x^2+6x+9}<0 \end{cases}

Nel primo sistema avremo:

  • \frac {4x^2+18x+23}{x^2+6x+9}<0

dove sia il numeratore (\Delta <0) che il denominatore (\Delta=0) sono sempre positivi, escludendo il solo valore x=-3, e quindi la disequazione non ammetterà soluzione.

Nel secondo sistema avremo:

  • \frac {2x^2+18x+31}{x^2+6x+9}<0

dove il numeratore è positivo per x< \frac {-9-\sqrt {19}}{2} \quad \lor \quad x> \frac {-9+\sqrt {19}}{2} e il denominatore è positivo per x \neq -3; quindi la disequazione è verificata per

    \[\frac {-9-\sqrt {19}}{2}<x<\frac {-9+\sqrt {19}}{2} \mbox { con } x \neq -3 \]

.

\begin{cases} -2 \leq x \leq 2 \\ \frac {4x^2+18x+23}{x^2+6x+9}<0 \mbox { impossibile }\end{cases} \qquad \begin{cases} x < -2 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq -3 \\ \frac {-9-\sqrt {19}}{2}<x<\frac {-9+\sqrt {19}}{2} \mbox { con } x \neq -3 \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • impossibile
  • \frac {-9-\sqrt {19}}{2}<x<\frac {-9+\sqrt {19}}{2} \mbox { con } x \neq -3

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

\frac {-9-\sqrt {19}}{2}<x<\frac {-9+\sqrt {19}}{2} \mbox { con } x \neq -3.

 

 

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