Esercizio 5 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

$\frac {3}{\left | 9-x^2\right |} \geq \frac 16$

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

$9-x^2 > 0 \Rightarrow -3 < x <3$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ \frac {3}{9-x^2} \geq \frac 16 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {3}{x^2-9} \geq \frac 16 \end{cases}$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ \frac {3}{9-x^2} - \frac 16 \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {3}{x^2-9}- \frac 16 \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ \frac {18-9+x^2}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {18-x^2+9}{6(x^2-9)} \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ \frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {-x^2+27}{6(x^2-9)} \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ \frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ \frac {x^2-27}{6(x^2-9)} \leq 0 \end{cases}$

Nel primo sistema avremo:

$\frac {x^2+9}{6(9-x^2)} \geq 0$

dove il numeratore $(\Delta <0)$ è sempre positivo e il denominatore sarà positivo per $-3<x<3$ , come d’altronde l’intera disequazione..

Nel secondo sistema avremo:

$\frac {x^2-27}{6(x^2-9)} \leq 0$

dove il numeratore è positivo per $x< -3\sqrt {3} \quad \lor \quad x> 3\sqrt {3}$ e il denominatore è positivo per $x < -3 \quad \lor \quad x>3$ ; quindi la disequazione è verificata per

$-3\sqrt 3 \leq x < -3 \quad \lor \quad 3<x \leq 3\sqrt 3$

$\begin{cases} -3 < x <3 \\ -3<x<3 \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x > 3 \\ -3\sqrt 3 \leq x < -3 \quad \lor \quad 3<x \leq 3\sqrt 3 \end{cases}$