Esercizio 7 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

$\left | 2x^2+x \right |<15$

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

$2x^2+x \geq 0 \mbox { positivo per } x\leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 0$

Essendo sempre positivo non ci sarà da risolvere un sistema… rimarrà da studiare una singola disequazione.

$\begin{cases}x\leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ 2x^2+x<15 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 12 <x<0 \\ 2x^2+x>-15 \end{cases}$

$\begin{cases}x\leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ 2x^2+x-15<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 12 <x<0 \\ 2x^2+x+15>0 \end{cases}$

Nel primo sistema avremo:

$2x^2+x-15<0$

positivo per $-3<x<\frac 52$ .

Nel secondo sistema avremo:

$2x^2+x+15>0$

essendo il $\Delta=1-120=-119$ negativo, la disequazione sarà sempre verificata

$\begin{cases}x\leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ -3<x<\frac 52 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 12 <x<0 \\ \mbox { indeterminata } \end{cases}$