Esercizio 8 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

-2

Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)}\right |<1

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)} \geq 0 \mbox { positivo per } x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13

Essendo il numeratore sempre positivo, il segno del modulo dipenderà solo dal denominatore.

\begin{cases} x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)}<1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 0<x<\frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)}>-1 \end{cases}

\begin{cases} x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)}-1<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 0<x<\frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3}{2x(3x-1)}+1>0 \end{cases}

\begin{cases} x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3-6x^2+2x}{2x(3x-1)}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 0<x<\frac 13 \\ \frac {6x^2-7x+3+6x^2-2x}{2x(3x-1)}>0 \end{cases}

\begin{cases} x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13 \\ \frac {-5x+3}{2x(3x-1)}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} 0<x<\frac 13 \\ \frac {12x^2-9x+3}{2x(3x-1)}>0 \end{cases}

Nel primo sistema avremo:

  • \frac {-5x+3}{2x(3x-1)}<0

dove il numeratore è positivo per x < \frac 35 e il denominatore sarà positivo per x<0 \quad \lor \quad x>\frac 13; quindi l’intera disequazione avrà come risultato:

    \[0<x<\frac 13 \quad \lor \quad x > \frac 35\]

Nel secondo sistema avremo:

  • \frac {12x^2-9x+3}{2x(3x-1)}>0

dove il numeratore è sempre positivo perchè il \Delta è negativo (\Delta=81-144=-63) e il denominatore, e quindi la disequazione stessa, è positivo per:

    \[x<0 \quad \lor \quad x>\frac 13\]

.

\begin{cases} x< 0 \quad \lor \quad x > \frac 13 \\ 0<x<\frac 13 \quad \lor \quad x > \frac 35 \end{cases} \qquad \begin{cases} 0<x<\frac 13 \\ x<0 \quad \lor \quad x>\frac 13 \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • x>\frac 35
  • Impossibile

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

x>\frac 35.

 

 

Altri esercizi simili:

(Questa pagina è stata visualizzata da 233 persone)

Lascia un commento