Esercizio 23 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

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Traccia

1-\frac {6}{1-4x^2}> \frac {2}{2x-1}-\frac {3}{2x+1}

Svolgimento

1+\frac {6}{4x^2-1} - \frac {2}{2x-1} +\frac {3}{2x+1}>0

\frac {4x^2-1+6-2(2x+1)+3(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)}>0

\frac {4x^2-1+6-4x-2+6x-3}{(2x+1)(2x-1)}>0

\frac {4x^2+2x}{(2x+1)(2x-1)}>0

\frac {2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}>0

Imponendo che 2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac 12, avremo:

\frac {2x}{2x-1}>0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N > 0

2x> 0

x>0

  • D>0

2x-1>0

x > \frac 12.

(-\infty;0) (0;\frac 12) (\frac 12; +\infty)
N > 0 —- +++ +++
D>0 —- —- +++
Risultato +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {2x}{2x-1}>0

è verificata per x<0 \quad \lor \quad x>\frac 12 \mbox { con } x\neq -\frac 12.

 

 

 

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