Esercizio 25 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac x6 - \frac {1}{x-6}> \frac {x-1}{6}- \frac {x-1}{6-x} + \frac x6$

Svolgimento

$\frac x6 - \frac {1}{x-6} - \frac {x-1}{6} + \frac {x-1}{6-x} - \frac x6 >0$

$\frac x6 - \frac {1}{x-6} - \frac {x-1}{6} - \frac {x-1}{x-6} - \frac x6 >0$

$\frac {x(x-6)-6-(x-1)(x-6)-6(x-1)-x(x-1)}{6(x-6)} >0$

$\frac {x^2-6x-6-x^2+6x+x-6-6x+6-x^2+6x}{6(x-6)} >0$

$\frac {-x^2+x-6}{6(x-6)} >0$

$\frac {x^2-x+6}{6(x-6)} <0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$x^2-x+6> 0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 1-24=-23$ .

Andando a vedere la tabella in

vedremo che questa disequazione, senza bisogno di trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

$\forall x \in R$

$x-6>0$

$x>6$

Ora, vedendo che il numeratore è sempre positivo, affinchè sia verificata:

$\frac {x^2-x+6}{6(x-6)} <0$

è necessario che $x<6$ .

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