Esercizio 26 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac {1}{x-2}-\frac 1x > \frac {2}{15}$

Svolgimento

$\frac {1}{x-2}-\frac 1x - \frac {2}{15} >0$

$\frac {15x-15(x-2)-2x(x-2)}{15x(x-2)} >0$

$\frac {15x-15x+30-2x^2+4x}{15x(x-2)} >0$

$\frac {-2x^2 +4x+30}{15x(x-2)} >0$

$\frac {x^2 -2x-15}{15x(x-2)} <0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$x^2-2x-15 > 0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 4+60=64$ .

Andando a vedere la tabella in

vedremo che questa disequazione, andando a trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

$x < -3 \quad \lor \quad x>5$

$x(x-2)>0$

Andando a vedere la tabella in

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che le soluzioni dell’equazione associata sono:

$x_1=0$

$x_2=2$

questa disequazione è verificata per

$x < 0 \quad \lor \quad x>2$ .

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {x^2 -2x-15}{15x(x-2)} <0$

è verificata per $-3<x<0 \quad \lor \quad 2<x<5$ .

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