Esercizio 28 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

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Traccia

\frac {x-5}{3}> \frac {3}{x-5}

Svolgimento

\frac {x-5}{3} - \frac {3}{x-5} >0

\frac {(x-5)(x-5)-9}{3(x-5)} >0

\frac {x^2-10x+25-9}{3(x-5)} >0

\frac {x^2-10x+16}{3(x-5)} >0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N > 0

x^2-10x+16> 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 100-64=36.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione, andando a trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

x <2 \quad \lor \quad x>8

  • D>0

x-5>0

x>5

 

(-\infty; 2) (2;5) (5;8) (8; +\infty)
N > 0 +++ —- —- +++
D>0 —- —- +++ +++
Risultato —- +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {x^2-10x+16}{3(x-5)} >0

è verificata per 2<x<5 \quad \lor \quad x>8.

 

 

 

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