Esercizio 29 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac {x-1}{x+1}+\frac 3x < \frac 14$

Svolgimento

$\frac {x-1}{x+1}+\frac 3x - \frac 14 <0$

$\frac {4x(x-1)+12(x+1)-x(x+1)}{4x(x+1)} <0$

$\frac {4x^2-4x+12x+12-x^2-x}{4x(x+1)} <0$

$\frac {3x^2+7x+12}{4x(x+1)} <0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$3x^2+7x+12 > 0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 49-144=-95$ .

Andando a vedere la tabella in

vedremo che questa disequazione, senza trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

$\forall x \in R$

$4x(x+1)>0$

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che le soluzioni dell’equazione associata sono:

$x_1=-1$

$x_2=0$

e questa disequazione è verificata per

$x < -1 \quad \lor \quad x>10$ .

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {3x^2+7x+12}{4x(x+1)} <0$

è verificata per $-1<x<0$ .

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