Esercizio 31 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac {x-5}{x+3}\leq \frac {8-x}{3-x}$

Svolgimento

$\frac {x-5}{x+3}- \frac {8-x}{3-x} \leq 0$

$\frac {x-5}{x+3} + \frac {8-x}{x-3} \leq 0$

$\frac {(x-5)(x-3)+(8-x)(x+3)}{(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {x^2-3x-5x+15+8x+24-x^2-3x}{(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {-3x+39}{(x+3)(x-3)} \leq 0$

$\frac {3(x-13)}{(x+3)(x-3)} \geq 0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$x-13 \geq 0$

$x \geq 13$

$(x-3)(x+3)>0$

Andando a vedere la tabella in

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

$x_1=-3$

$x_2=3$

questa disequazione è verificata per

$x<-3 \quad \lor \quad x>3$ .

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {3(x-13)}{(x+3)(x-3)} \geq 0$

è verificata per $-3<x<3 \quad \lor \quad x \geq 13$ .

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