Esercizio 33 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac 25 (\frac {1}{x-2}-1)<\frac {1}{5(x^2+x-6)}-\frac {2+x}{x+3}$

Svolgimento

$\frac {2}{5(x-2)}-\frac 25-\frac {1}{5(x+3)(x-2)}+\frac {2+x}{x+3} < 0$

$\frac {2(x+3)-2(x^2+x-6)-1+5(2+x)(x-2)}{5(x+3)(x-2)} < 0$

$\frac {2x+6-2x^2-2x+12-1+5x^2-20}{5(x+3)(x-2)} < 0$

$\frac {3x^2-3}{5(x+3)(x-2)} < 0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$3(x^2 -1) > 0$

$x^2-1>0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 0+4=4$ .

Andando a vedere la tabella in

vedremo che questa disequazione, andando a trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

$x <-1 \quad \lor \quad x >1$

$(x+3)(x-2)>0$

Andando a vedere la tabella in

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

$x=-3$

$x=2$

questa disequazione è verificata per

$x < - 3 \quad \lor \quad x>2$ .

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {3x^2-3}{5(x+3)(x-2)} < 0$

è verificata per $-3<x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2$ .

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