Esercizio 34 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

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Traccia

\frac {1}{x+1} (\frac {6}{x-1}+3) < 1+\frac {2}{x-1}

Svolgimento

\frac {6}{(x-1)(x+1)}+\frac 3{x+1} - 1-\frac {2}{x-1} <0

\frac {6+3x-3-x^2+1-2x-2}{(x-1)(x+1)} <0

\frac {-x^2 +x +2}{(x-1)(x+1)} <0

\frac {x^2 -x -2}{(x-1)(x+1)} >0

\frac {(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)} >0

Imponendo che x \neq -1 otterremo:

\frac {x-2}{x-1} >0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N > 0

x-2 >0

x>2

  • D>0

x-1>0

x >1.

(-\infty;1) (1;2) (2; +\infty)
N > 0 —- —- +++
D>0 —- +++ +++
Risultato +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {x-2}{x-1} >0

è verificata per x<1 \quad \lor \quad x >2 \quad \mbox { con } x \neq -1.

 

 

 

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