Esercizio 36 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac {x+1}{x^2-4}-\frac 1{x+2}-\frac {2-x}{x^2+4x+4}\leq 0$

Svolgimento

$\frac {x+1}{(x-2)(x+2)}-\frac 1{x+2}-\frac {2-x}{(x+2)^2}\leq 0$

$\frac {(x+1)(x+2)-(x^2-4)-(2-x)(x-2)}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0$

$\frac {x^2+2x+x+2-x^2+4+x^2-2x-2x+4}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0$

$\frac {x^2-x+10}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$N \geq 0$

$x^2-x+10 \geq 0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 1-40=-39$ .

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione sarà verificata:

$\forall x \in R$

$D>0$

$(x+2)^2(x-2)>0$

Imponendo che $x \neq - 2$ , visto che un quadrato è sempre positivo, otteniamo:

$x-2>0$

$x>2$

Quindi, essendo il numeratore sempre positivo, basterà guardare il risultato del denominatore, e quindi, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {x^2-x+10}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0$

è verificata per $x<2 \mbox { con } x \neq -2$ .

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Esercizio 36 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

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