Esercizio 40 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

$\frac {8}{x+2}\geq \frac {x+2}{x}$

Svolgimento

$\frac {8}{x+2}- \frac {x+2}{x} \geq 0$

$\frac {8x-(x+2)(x+2)}{x(x+2)} \geq 0$

$\frac {8x-x^2-4x-4}{x(x+2)} \geq 0$

$\frac {-x^2+4x-4}{x(x+2)} \geq 0$

$\frac {x^2-4x+4}{x(x+2)} \leq 0$

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

$x^2-4x+4 \geq 0$

$(x-2)^2 \geq 0$

Bisogna prima di tutto calcolare il $\Delta$ :

$\Delta= 0$ .

Andando a vedere la tabella in

vedremo che questa disequazione sarà verificata:

$\forall x \in R$

$x(x+2)>0$

Andando a vedere la tabella in

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

$x=-2$

$x=0$

questa disequazione è verificata per

$x < - 2 \quad \lor \quad x>0$ .

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

$\frac {x^2-4x+4}{x(x+2)} \leq 0$

è verificata per $-2<x<0 \mbox { con } x=2$ .

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