Esercizio 15 Disequazioni goniometriche di vario tipo

Traccia

$cos x < \frac 32 tg x$

Svolgimento

$cos x - \frac {3sen x}{2cosx}<0$

$\frac {2cos^2x -3sen x}{2cosx}<0$

$\frac {2(1-sen^2x) -3sen x}{2cosx}<0$

$\frac {2-2sen^2x -3sen x}{2cosx}<0$

Cambiamo il segno del numeratore e del verso della disuguaglianza ottenendo:

$\frac {2sen^2x +3sen x-2}{2cosx}>0$

$\frac {(2senx-1)(sen x+2)}{2cosx}>0$

Distinguiamo in tre casi separati e poi studiamo insieme le soluzioni:

$\frac 16 \pi < x < \frac 56 \pi$

$\forall x \in R$

$0\leq x < \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 32 \pi <x\leq 2 \pi$

Analizziamo il grafico

Da questo otteniamo il risultato della disequazione:

$\frac 16 \pi <x < \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 56 \pi < x < \frac {3}{2}\pi$ .

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